[BoostCamp AI Tech / Level 1 - AI Math] Day2 - Vector

AI Math : Vector

---

Vector

\[\begin{aligned} \mathbf{X} = \begin{bmatrix} 1 \\ 7 \\ 2 \end{bmatrix} \quad\quad\quad \mathbf{X}&^\intercal = \begin{bmatrix} 1 & 7 & 2 \end{bmatrix} \end{aligned}\]

• 각각을 열벡터, 행벡터라고 부른다
• 벡터 연산
  • 벡터의 +, - : 동일한 크기면 element-wise +, - 연산
  • $\odot$ : element-wise product로 matrix 성분곱을 의미

• vector norm

  \[\begin{aligned} \mathbf{X} = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix} \quad\quad \begin{aligned} L_{1} : ||\mathbf{X}||_{1} = \sum_{i=1}^{d}|x_{i}| \\ L_{2} : ||\mathbf{X}||_{2} = \sqrt{\sum_{i=1}^{d}|x_{i}|^{2}} \end{aligned} \end{aligned}\]
  • 임의의 차원 d에 대해 모두 성립
  • $L_{1}$ norm : 각 성분의 변화량의 절대값
    • 좌표축을 따라 이동한 거리
  • $L_{2}$ norm : 피타고라스 정리에 기반한 유클리드 거리를 언급
  • 두 norm값은 기하학적 성질이 다름

• 두 벡터 사이의 거리
  $|| \mathbf{x} - \mathbf{y}||_2 = || \mathbf{y} - \mathbf{x}||_2 $

• 두 벡터 사이의 각도

\[\begin{aligned} ||\mathbf{x} - \mathbf{y}||_2 = ||\mathbf{y} - \mathbf{x}||_2 \\ \cos\theta = \frac{< \mathbf{x}, \mathbf{y} >}{||\mathbf{x}||_{2}||\mathbf{y}||_{2}} \end{aligned}\]

• 내적의 해석
  • 정사영(orthogonal projection)된 벡터의 길이
    $\text{Proj}(\mathbf{x}) = ||\mathbf{x}|| \cos \theta$